I
在第三章，我们阐述了使我们能够对于不稳定动力学系统扩展经典力学和量子力学的要素：打破个体描述（用轨道）与统计描述（用系综）之间的等价性。现在，我们想就简单混沌映射更贴近地分析这种不等价性，并说明这一结果如何与数学的最新进展相关联。我们先回到伯努利映射。如前所述，这是确定性混沌的一个例子。
根据运动方程xn+1＝2xn（mod
1），一旦我们已知初始条件x0，则对于任意的n，都能够计算xn。然而，一个随机性要素仍然呈现出来。在0和1之间的任意数x可以用二进制数字系统表示：x=u0/2+u-1/4+u-2/8…，其中ui=0或1（我们用负下标u-1、u-2来引入将在第III节中研究的面包师变换）。于是，每个数xn都用一系列数字来表示。不难证明，当它把数ui向左边移动时，伯努利映射导出推移un'=un-1（例如，u'-2＝
u-3）。数列 u-1，u-2，…中的每个数的值与其他数的值无关，所以每一逐次推移的结果像掷硬币一样是随机的。这个系统叫做“伯努利推移”，以纪念18世纪大数学家伯努利（Jakob
Bernoulli）在机遇游戏中的开创性工作。在这里，我们还可以看到对初始条件的敏感性：仅有微小差别的两个数（比如说，u-40不同，即差异小于2-39），在40步后竞相差1/2。我们已解释过，这种敏感性对应于一个正李雅普诺夫指数，当x在每一步都加倍时，它的值为ln2（参见第三章第II节）。
伯努利映射从一开始就引入只指向一个方向的时间之矢。如果不考虑
xn+1＝2xn（mod 1），而考虑映射xn+1＝1/2
xn，我们会在x＝0处发现一个单点吸引子。时间对称性在运动方程层次被打破，故运动方程不是可逆的。这和牛顿描述的动力学系统形成对照，因为牛顿运动方程对于时间反演是不变的。
在这一关头要牢记的最重要一点是，轨道不足胜任。轨道不能描述混沌系统的时间演化，即使混沌系统由确定性运动方程所支配。迪昂（Pierre－Maurice
Duhem）早在1906年就指出，仅当我们对初始条件作少许改变时，轨道保持几乎相同，轨道概念才是一种适当的表示方式。用轨道描述混沌系统恰恰缺少这种稳健性。这正是对初始条件敏感性的含义：两条轨道从我们所能想象的尽可能靠近的两点出发，随着时间的推移，它们将按指数发散。
相反，在统计层次上描述混沌系统没有什么困难。因此，正是在统计层次上我们必须表述混沌定律。在第三章，我们引入了佩龙-菲罗贝尼乌斯算符U，它把概率分布ρ（x）变换成ρ
n+1（x）。我们得出结论：存在着不适用于个体轨道的新解，本章中我们想要确认的正是这些新解。对佩龙-弗罗贝尼乌斯算符的研究是一个发展很快的领域，它在这里特别有意义，因为混沌映射或许是显示不可逆过程的最简单系统。
玻尔兹曼将他的思想应用到包含庞大数量分子（10
23
数量级）的气体，但在这里正好相反，我们只处理少量自变量（伯努利映射仅有一个自变量，我们将简要考察的面包师映射也只有两个自变量）。我们将不得不再次摈弃此种论点，即不可逆性只是因为我们的测量受限于近似而存在。我们先来确认与统计描述相联系的一类新解。
II
我们如何在统计层次上求解动力学问题？首先我们必需确定分布函数ρ（x），以便能观察到复现关系
ρ n+1（x）=U ρ（x）。（n+1）次映射后，分布函数ρ
n+1（x）由作用于 ρ n（x）上的算符U所得到，ρn（x）是n次映射后的分布函数。在经典力学和量子力学中我们将遇到同一类型的问题。至于其原因，我们将在第六章解释。算符表述首先是在量子理论中引入的，然后扩展到了其他物理学领域，最有名的是统计力学。
算符不过是如何作用在给定函数上的一种规定而已，它可以包括乘法、微分及其他任何数学运算。要定义算符，我们必须明确其使用范围。算符作用于什么类型的函数上？这些函数是连续的，有界的，还是具有其他性质？这些性质定义了函数空间。
一般说来，算符U作用在函数f（x）上会把它变换成不同的函数。（例如，若U是一个导数算符
d/dx，则Ux2＝2x。）但是，有些函数当我们用U作用于它们时保持不变，它们只是乘上了一个数。这些特殊的函数称为算符的本征函数，与本证函数相乘的那个数称为本征值。在上面的例子中，ekx是一个本征函数，相应的本征值是k。算符分析中的一个基本定理指出，我们可以用算符的本征函数和本征值来表达算符，本征函数和本征值都依赖于函数空间。其中特别重要的是所谓“希尔伯特空间”，它已被从事量子力学研究的理论物理学家仔细研究过。它包括诸如
x或sinx此类的“正经函数”，但不含我们将不可逆性引入到统计描述之中所需的奇异广义函数。物理学中每一个新理论都需要新的数学工具。这里，对于不稳定动力学系统来说，基本的创新之处是，我们必须走出希尔伯特空间。
在阐述了这些预备知识之后，我们再回到伯努利映射。在这种情况下，我们很容易推导出演化算符U的显式，从而得到ρn+1（x）＝Uρn(x)=1/2[ρn(x/2)+ρn((x+1)/2)。这个方程意味着在（n＋1）次迭代之后，点x处的概率ρn+1（x）由点x/2和(x+1)/2处的ρ
n（X）值所确定。作为U形式的结果，若ρn是常数且等于α，则ρn＋l也等于α，因为Uα＝α。一致分布ρ＝α，对应于平衡态。它是通过推移迭代，对于n→∞时得到的分布函数。
相反，若ρn（x）＝x，我们求得ρn+1（x）=1/4+x/2。换句话说，Ux＝1/4+x/2。算符U的作用是将函数x变换成另一个函数1/2+x/2。但是，我们不难求如上所定义的本征函数，即由算符乘以常量而复制一个相同的函数。在例子U(x-1/2)＝1/2(x-1/2)中，本征函数是x-1/2，本征值1/2。若我们重复伯努利映射n次．则得到Un(x－1/2)=(1/2)n(x-1/2)，当n→∞时．它趋于0。因此，（x-1/2)对
ρ（x）的贡献以与李雅普诺夫指数相关的速率被很快衰减。函数x－1/2属于一簇叫伯努利多项式的多项式，记为bn（x），它们是具有本征值为伯努利多项式的叠加形式时，高次多项式首先消失，因为它们的衰减因子较大。这就是分布函数很快趋于常量的原因。最后，只有B0（x）＝1幸存。
现在，我们必需用伯努利多项式来表达分布函数ρ和佩龙-弗罗贝尼乌斯算符U。然而在我们描述结果之前，我们应当再次强调“正经函数”与“奇异函数”（又称广义函数或者广义分布，不要把它和概率分布相混淆）之间的区别，因为这至关重要。最简单的奇异函数为
δ函数δ（x）。我们在第一章第III节中看到，δ（x－x0）对于x≠x0。的所有值均为零，对于x＝x0则为无穷大。我们已经注意到，奇异函数必须与正经函数一道使用。例如，若f（x）是一个正经连续函数，则积分∫dx
f（x）δ（x－ x0）＝f（x0）有明确定义的含义。反之，包含奇异函数之积的积分，诸如∫dx
δ（x－x0）δ（x－x0 ）＝δ（0）＝∞发散，故无意义。
我们的基本数学难题是，用本征函数和本征值来定义算符U，这称为算符U的谱表示。一旦我们有了这种谱表示，就可以用它表达Uρ，即佩龙-弗罗贝尼乌斯算符对概率分布ρ的作用。这里，我们得到了一个对于确定性混沌来说非常重要的情形。我们已经得到了一个本征函数集合，伯努利多项式（x），它是正经函数，但是仍存在另一个集合~Bn（X），它由与δ函数的导数相关的奇异函数构成。为得到U的谱表示和Uρ，我们需要这两个本征函数集合。结果，伯努利映射的统计表述只适用于正经概率函数ρ，而不适用于对应于由δ函数所表示的奇异分布函数的单一轨道。U的谱分解用于δ函数时包含发散且无意义的奇异函数之积。个体描述（用δ函数表示的轨道）与统计描述之间的等价性被打破了。然而，对于连续分布ρ，我们得到超出轨道理论的一致结果。我们能够计算趋于平衡的速率，从而得到一个在伯努利映射中发生的不可逆过程的明晰的动力学表述，这个结果证实了我们在第一章第III节中的定性讨论。概率分布考虑了相空间的复杂微结构。用轨道对确定性混沌进行描述对应于过分理想化，不能够表达这种趋向平衡。
这里，我们遇到了现代数学中的几个最紧要问题。事实上，我们将在第五章和第六章看到，确定本征函数和本征值是统计力学和量子力学的核心问题。对混沌也一样，这里的目的是用算符（例如U）的本征函数和本征值来表达算符。我们成功地做到了的时候，就得到了算符的谱表示。在量子力学中，此种谱表示在通过正经函数的简单情形里已经取得，所以我们使用希尔伯特空间。量子力学与希尔伯特空间中的算符分析之间的联系是如此紧密，以至于量子力学往往就被当作希尔伯特空间中的算符分析。在第六章，我们将看到这通常不是那么回事。
为了把握现实世界，我们最终必须离开希尔伯特空间。在混沌映射情形里，我们必须走出希尔伯特空间，因为我们既需要是正经函数的Bn（x）又需要是奇异函数的~Bn（x），于是，我们可以谈论受控的希尔伯特空间或盖尔范德空间。用更专门的术语来讲，我们得到了佩龙-弗罗贝尼乌斯算符的不可约谱表示，因为它仅适用于正经概率分布而不适用于个体轨道。这些特征是根本性的，由于它们是不稳定动力学系统的典型。我们将在第五章我们对经典动力学的推广和第六章量子力学中再次见到它们。我们不得不离开希尔伯特空间，其物理原因与上文提及的持续相互作用有关，这种相互作用需要整体的非局域描述。只有在希尔伯特空间之外，个体描述与统计描述之间的等价性才被无可挽回地打破，不可逆性才结合到自然法则之中。
III
伯努利映射不是一个可逆系统。我们前面提到，在运动方程的层次上已经存在时间之矢。我们的主要问题是描述在可逆动力学系统中出现的不可逆性，所以现在我们考察面包师映射或面包师变换，它是伯努利映射的推广。我们取一个边长为1的正方形。首先，将此正方形技成长为2的矩形，然后再把该矩形平分，建成一个新的正方形。考虑正方形的下部，我们看到，这一过程（或映射）经过一次迭代之后，下部分成了两条（见图4．1）。而且，此种变换是可逆的：逆变换首先将正方形重新变形成长为2、宽为2的矩形点后使每一点都回到其初始位置。
就伯努利映射而论，运动方程非常简单：在每一步，当O≤x<1/2时，坐标（x，y）变成（2x,y/2），而且当1/2<x≤1时,坐标（x，y）变成（2x－1，(y+1)/2）。要得到逆面包师变换．我们只需将x和y互换。
在面包师变换中，两个坐标扮演着不同的角色。水平坐标x是膨胀坐标，它对应于伯努利映射中的x，因为它每进行一次映射都乘以2（mod
1）。我们还有一个压缩坐标y，所以正方形的面积保持不变。当正方形被拉长成矩形时，在垂直坐标方向上的点更靠近在一起。由于每一次变换后沿水平坐标x两点间的距离加倍，所以在n次变换后，距离要乘以2n。我们把2n改写成enln2。若用变换次数n来衡量时间，则李雅普诺夫指数为ln2，恰如在第II节中考虑的伯努利映射。另外还有一个具有负值的李雅普诺夫指数-ln2，它对应于压缩方向y。
面包师变换中的逐次迭代的效果，值得给予与我们在伯努利映射中所给予的同样程度的重视（参见图3．7）。这里，我们从位于正方形的一小部分中的诸点开始（见图4．2），我们在此可以清楚地看到正李雅普诺夫指数的拉伸效果。因坐标x和y受限于区间[0，1]，这些点重新投射，在整个正方形得到均匀分布。我们还可以用数值模拟证明，若我们从概率ρn（x，y）出发，犹如伯努利推移的情形那样（见图3．8），则分布将很快趋于均匀。
通过把面包师变换表示为伯努利推移，正如我们在第1节中所做的那样，我们可以加深对面包师变换机制的认识。
为此，我们把单位正方形的每个点（x，y）与二进制表示所定义的双无穷数列{un}联系起来：
其中，un可取值0或1。每个点
x，y由级数…u-2,u-1,u0，u1,u2…表示，其中，…u-2，u-1，u0
O对应于膨胀坐标x，而图形按照迭代次数（它代表时间）的顺序排列。（这些数值模拟是德里贝的工作。）u1，u2…对应于压缩坐标y。例如，点x=1/4、y=1/4将表示为u-1＝1，u2＝1，其他所有un都为0的一个级数。把这些表达式代入运动方程，我们得到推移公式un'＝un-1，这又是一个伯努利推移。我们看到，包含在初始条件中的信息包括了该系统过去和未来的全部历史（见图4．3）。
面包师变换的逐次迭代，使得阴影区和空白区碎裂，产生数目不断增加的不连通区域。注意，数字U0确定相空间代表点是处于单位正方形的左半部（u0
＝0）还是右半部（u0＝1）。数列 un，…可以通过掷硬币来确定，故
un的时间迭代 u'n＝Un-1，u''n=un-2。将具有相同的随机性。这表明，点出现于正方形的左半部或右半部的过程可被视为伯努利推移。
面包师变换也具有所有动力学系统都具有的一个重要性质，叫复现。考虑点（x，y），对于该点，序列{un}用二进制数表示，它无论是有限的还是无穷的，都是周期性的，故x和y都是有理数。既然所有的Un都以同样的方式推移，那么这一类型的所有状态在一定的时间周期之后都会同样地再循环。这对于大多数其他状态都同样成立。为了说明这一概念，我们考虑无理数点（X，y）的二进制表示，它包含无穷多的非平凡的、不重复的数字。可以证明，几乎所有的无理数都包含无穷个有限数列。因此，在位置0附近2m个数字的给定序列（它确定系统直至2-m误差的状态）将在推移效应的作用下无穷次地重新出现。既然m可以想取多大就取多大（虽然有限），那么这就意味着，几乎每一个状态都将无穷多次地任意趋近任何点（当然也包括初始位置）。换句话说，大部分轨道将经过整个相空间。这就是著名的庞加莱复现定理。长期以来，复现性连同可逆性被提出作为反对真正耗散过程的存在的重要论据。但现在这个观点不再得到支持了。
总之，面包师变换是可逆的、时间可逆的、确定性的、复现的和混沌的。用这个例子说明这些特性特别有益，因为这同一些特性刻画了许多现实世界的动力学系统。我们将看到，尽管有这些特性，混沌允许我们通过在统计层次上进行描述来建立真正的不可逆性。
保守系的动力学包含运动定律和初始条件。此处的运动定律虽然很简单，但有必要详细分析初始条件的概念。单个轨道的初始条件对应于无穷集{un}（n＝－∞到+∞）。但是在现实世界中，我们只能通过有限的窗口进行观察。在目前的情形下，这意味着我们能够控制一个任意的但是有限的数列un。假定这个窗口对应于u-3u-2u-1u0.u1u2u3，其他所有的数字都是未知数字（圆点表示把x和y的数字分开）。伯努利推移Un'＝un-1意味着，在下一步，前一个序列被u-4u-3u-2u-1·u0u1u2所代替，其中包含未知数字u-4。更准确地说，由于正李雅普诺夫指数的存在，我们需要以N＋n位数字的精度知道该点的初始位置，以便在n次迭代后能够以N位数字的精度确定它的位置。
我们在第一章看到，解决这一难题的传统手段是引入粗粒概率分布。这是埃伦费斯特夫妇最先提出的，这样的分布不能用单个点而是用区域进行定义。但是，扩张流形上的两个点，即使在时刻0由给定有限精度的测量是不可分辨的，但以后将随时间而分离，从而可观测。因此，传统的粗粒化不适用于动力学演化。这就是我们需要更精致方法的原因之一。
但首先，我们应当详细分析用面包师变换趋于平衡的含义是什么。尽管像所有的动力学系统那样，面包师变换是可逆的，但对于
t→+∞和t→－∞的演化却是不同的。在t→+∞时，我们得到越来越多的水平窄条（见图
4． 3）。相反，在t→-∞时，我们得到越来越多的垂直窄条。
我们看到，对于混沌映射，动力学导致两种类型的演化。所以，我们得到两个独立的描述，一个描述刻画在未来（t→+∞）趋向平衡，另一个描述刻画在过去（
t→－∞）趋向平衡。我们在后面将看到，此种动力学分解对于混沌映射和不可积经典系统及量子系统是可能的。对于简单动力学系统，无论是谐振子还是二体系统，此种分解均不存在，因为未来和过去不可分辨。对于混沌映射，我们应当保留两个描述中的哪一个？我们将反复回到这一问题上来。眼下，我们考虑所有不可逆过程都具有的内在的普适性。大自然中一切时间之矢都有相同的指向。它们都在同一时间方向产生熵，这据定义就是未来。因此，我们必须保留对应于我们的未来（即对于t→+∞）达到平衡的描述。
在第一章里，我们提到过与面包师映射相联系的时间佯谬：面包师映射描述的动力学是时间可逆的，但不可逆过程却在统计层次出现。像在伯努利映射中一样，我们可以引入由ρn+1（x,y）＝Uρn（x，y）所定义的佩龙-弗罗贝尼乌斯算符U。但存在着根本性的差异。一个普遍定理指出，对于可逆动力学系统，存在着仅包含“正经函数”的在希尔伯特空间上定义的谱表示。而且，在这个谱表示中没有衰减，因为本征值为mod
1。这种谱表示对面包师变换也存在，但对我们没有什么意义，因为它不提供任何与轨道相关的新信息，我们只不过回到δ(x-xn+1)δ（y-yn+1）=Uδ（x－xn）δ（y-yn），一个等价于轨道描述的解。
为了获得附加信息，如同我们对伯努利映射所做的，我们必须走出希尔伯特空间。就最近才得到的广义空间的谱表示而言，本征值与伯努利映射中的
1／2m相同。本征函数像伯努利映射中的 ~Bn(x)那样是奇异函数。这些表示再次是不可约的，它们仅适用于适当的检验函数，这迫使我们把我们自己眼于连续分布函数，用奇异δ函数表示描述的单轨道除外。像伯努利映射情形一样，个体描述与统计描述之间的等价性被打破了。统计描述只包含趋近于平衡，从而包含不可逆性。
然而，与伯努利映射相比，面包师映射有一个重要的新特点：佩龙-弗罗贝尼乌斯方程既适用于未来，也适用于过去（ρn+1=Uρn和ρn-1＝U-1ρn，这里
U-1是U的逆）。在希尔伯特空间谱表示的框架下，不论n1和n2的符号（正号指未来，负号指过去）是什么，均有
Un1+n2＝Un1Un2，所以这没有什么差异。希尔伯特空间可以描述为一个动力学群。相反，对于不可约谱表示，未来和过去之间存在着根本性的差异，Un的本征值表达为（1/2m）n＝e-n(mln2)。这个表达式对应于未来的衰减（n＞0），以及过去的发散（n＜0）。现在，存在着两种不同的谱表示，一个对应于未来，另一个对应于过去。包含于轨道描述（或希尔伯特空间）中的这两个时间方向现在被分开了。动力学群分成了两个半群。如上所述，根据我们所有不可逆过程都指向同一方向的观点，我们必须选择在我们自己的未来达到平衡的那个半群。自然本身由区分过去与未来的半群所描述，存在着一个时间之矢。结果，动力学与热力学之间的传统冲突被化解了。
总之，只要我们考虑轨道，谈论混沌定律似乎就是矛盾的，因为我们处理混沌中负的方面，诸如导致不可计算性和表观无规性的轨道的指数发散。当我们引人在所有时间都有效且可计算的概率描述时，情况会发生戏剧性的变化。因此，对于混沌系统而言，动力学定律必须在概率层次上进行表述。在上面研究的简单例子中，不可逆过程仅与李雅普诺夫时间相联系，然而我们的研究已扩展到更一般的映射，它们包括诸如扩散过程和其他各种输运过程此类的不可逆现象。
IV
第一章提到，统计描述成功地应用于确定性混沌，源于它考虑了相空间中复杂的微结构。在相空间的每一有限区域中，都存在指数发散轨道。李雅普诺夫指数的定义包含相邻轨道的比较。引人注目的是，不可逆性已出现在仅包含几个自由度的简单情况之中。它当然是对基于近似之上的不可逆性的拟人解释的一个打击，这些近似是我们自己假定引入的。这一解释在玻尔兹曼失败后得到表述，不幸的是今天仍然被广为传播。
诚然，若以无穷精度已知初始条件，则仍然存在轨道描述。但是这不对应于任何现实情况。无论何时我们完成实验，通过计算机也好，通过某些其他手段也罢，我们所处理情况的初始条件都只能以有限精度给出，且对混沌系统而言，导致时间对称性破缺。同理，我们也可以设想无穷速度，从而不再需要建立于最大速度（即真空中的光速c）存在之上的相对论。但是，速度大于c的此种假设不对应于任何已知的可观测实在。
映射是不能抓住时间之真正连续性的理想化模型。我们现在要把注意力转向较为现实的情况，转向对我们来说将具有特殊重要性的不可积庞加莱系统。在那里，个体描述（轨道或波函数）与统计描述之间的破裂更加惊人。对于这些系统，拉普拉斯妖无能为力，不管它对现在的了解是有限的还是无穷的。未来不再是给定的未来，用法国诗人瓦莱里（PaulValery）的说法，它变成了“构造”。
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