I
我们在第四章分析了表示简化模型的映射，现在提出我们探讨的核心问题：不稳定性和持续相互作用在经典力学和量子力学框架下起什么作用？经典力学是我们确定性的、时间可逆的自然描述之信念赖以建立的学科。要回答这一问题，我们首先必须与牛顿定律交手，与那些300年来支配理论物理学的方程交手。
在处理原子和基本粒子时，经典力学没有量子力学有效。相对论表明，经典力学在处理高能物理或宇宙学问题时也必须得到修正。无论如何，我们要么引入个体描述（用轨道、波函数或场来表示），要么引入统计描述。值得注意的是，在所有层次上，不稳定性和不可积性都打破了这两种描述间的等价性。因此，我们必须依据我们置身其中的开放的、演化的宇宙来修正物理学定律的表述。
如上所述，我们认为，经典力学是不完备的，因为它未包括与熵增加相联系的不可逆过程。为了在其表述中包括这些过程，我们必须包含不稳定性和不可积性。可积系统是例外。从三体问题开始，大部分动力学系统都是不可积的。对于可积系统，建立在牛顿定律基础上的轨道描述与建立在系综基础上的统计描述这两种描述方式是等价的。对于不可积系统，就并非如此。甚至在经典动力学中，我们都不得不使用吉布斯统计方法（见第一章第III节）。我们在第三章第I节看到，正是这一方法导出平衡热力学的动力学诠释。所以十分自然，我们还不得不采用统计描述，以包含驱使系统趋向平衡的不可逆过程。这样一来，我们可以把不可逆性吸收到动力学之中。结果，在统计描述的层次上出现了自洽地纳入动力学的非牛顿贡献。而且，这些新贡献使时间对称性破缺。因此，我们用得到的动力学概率表述可以解决时间可逆动力学与有时间方向的热力学观点之间的冲突。
我们深知，这一步代表了与过去的决然背离。轨道总是被视为本原的、基本的交易工具。现在这种观点已不再正确。借用量子力学的术语（参见第VII节），我们将遇到轨道“坍缩”的情况。
事后看来，我们不得不放弃了轨道描述并不令人感到惊奇。我们在第一章看到，不可积性由共振所致，共振表达了频率必须满足的条件。共振不是发生在空间中的给定点和时间上的给定时刻的局域事件。它们如此这般引入了对于局域轨道描述完全是外来的某些元素。然而，我们需要一种统计描述，以便在我们预期不可逆过程和熵增加的情况下来表述动力学。此种情况毕竟是我们周围世界所见到的情况。
正如怀特海、柏格森和波普尔所设想的那样，非决定论现在出现于物理学中了。这不再是某种先验形而上学选择的结果，而是不稳定动力学系统所需的统计描述。过去几十年里，许多科学家提出了量子理论的重新表述或者扩展。但是，完全意想不到的是，我们现在有必要对经典力学加以扩展。甚至更加意想不到的是，经典力学的这种修正可以引导我们扩展量子理论。
II
我们在着手修正牛顿定律之前，先概括一下经典力学的基本概念。考虑质量为m的质点运动。随着时间的推移，它的轨道通过其位置r（t）、速度v＝dr／dt以及加速度a=d2r/dt2进行描述。牛顿基本方程通过表达式F＝ma把加速度a与力F联系起来。这个表达式包含经典惯性原理，即若没有力，则没有加速度，速度保持不变。当我们从一个观察者走向相对于第一个观察者作匀速直线运动的另一个观察者时，牛顿方程保持不变。这被称为伽利略不变性，在第八章我们将看到，它已被相对论深刻改变了。这里，我们只处理非相对论性牛顿物理学。
我们看到，时间仅通过一个二阶导数进入牛顿方程。也就是说，牛顿时间是可逆的，未来和过去被认为起相同作用。而且，牛顿定律是确定性的。
现在考虑更一般的情形，由N个粒子组成的系统。在3维空间里，我们有3N个坐标q1，…，q3N和3N个相应的速度v1,…，V3n。在现代动力学表述中，我们通常把坐标和速度（或者动量p1，…，p3n，在简单情况下p=mv）均视为自变量。第一章提到，动力学系统的态与相空间中的点相联系，它的运动与相空间中的轨道相联系。经典动力学中最重要的量是哈密顿量H，它定义为用变量q和p所表示的系统的能量。一般来说，H是动能Ekin（p）和势能v（q）之和（q或q代表所有自变量的集合）。
一旦我们得到了哈密顿量H（p，q），就能够推导出运动方程，它确定坐标和动量随时间推移的演化。这一步骤对力学专业的所有大学生都熟悉。从哈密顿量导出的运动方程称为正则运动方程。牛顿方程是二阶的，即包含二阶时间导数；哈密顿方程与牛顿方程不同，它们是一阶的。对于单个自由粒子，H＝p2/2m，动量p随时间不变，坐标随时间呈线性变化，q=q0＝q0+pt/m。依照定义，对于可积系统，哈密顿量只可用动量来表达（如果有必要，可适当改换变量）。庞加莱研究了形如H＝H0（p）＋λV（q）的哈密顿量，即可积部分（“自由哈密顿量”H0）与相互作用所致的势能之和（又是后面要用到的标度无关因子）。他证明，这类哈密顿量通常不是可积的，这意味着我们不能消除相互作用和回到独立单位。我们在第一章提到，不可积性由与廉加莱共振相联系的发散分母所致。作为廉加莱共振的结果，我们不能解出运动方程（至少不能用耦合常数人的幂级数形式表示）。
在下文里，我们感兴趣的主要是不可积的大庞加莱系统（简称LPS。我们已经看到，庞加莱共振与对应于各种运动模式的频率相联系。频率ωk依赖于波长k。（用光作例子，紫外光与红外光相比有较高的频率。和较短的波长k。）我们考虑频率随波长连续变化的不可积系统时，满足LPS的定义。系统所占据的体积足够大，大到表面效应可以忽略的程度，即满足这个条件。这就是为什么我们把这些系统叫做大庞加莱系统的原因。
LPS的一个简单例子，是一个频率为ω1的振子与一个给定场耦合之间的相互作用。在我们这个收音机和电视机的世纪里，我们都听说过电磁波这个词。电磁波的幅度由场确定，场由位置和时间的函数φ(x，t）描述。如本世纪初所确立的，场可以认为是频率为ωk的振荡的叠加，其波长k从系统本身的大小改变到基本粒子的尺度。在我们所考虑的振子-场相互作用中，每当场的频率ωk等于振子频率ω1时，就会发生共振。只要ω1＝ωk，在我们求解振子与场相互作用的运动方程时，就会遇到庞加莱共振1/(ω1-ωk)，它对应于发散。也就是说，当分母为零时，这些项趋于无穷大，而变得无意义。我们将看到，我们可以在我们的统计描述中消除这些发散。
庞加莱共振导出一种混沌形式。事实上，大量计算机模拟表明，庞加莱共振导致随机轨道的出现，犹如确定性混沌的情形。在这种意义上，在确定性混沌与庞加莱不可积性之间存在着惊人相似之处。
III
像前几章所做的那样，我们将考察概率分布ρ（q，p，t），它的时间演化很容易从正则运动方程推导出来。我们现在所处状况与对混沌映射相同，即用与佩龙-弗罗贝尼乌斯算符相联系的统计描述，代替运动方程。在经典力学中，我们还遇到称为刘维尔算符的演化算符，它通过方程 确定ρ的演化。ρ的时间变化通过算符L作用于ρ上而获得。若分布函数是时间无关的，则Lρ＝0． 这对应，热力学平衡。这样，如在第三章第I节中所看到的，ρ仅依赖于能量（或哈密顿量），它是一个运动不变量。
像在第四章对混沌系统所作的解释那样，在统计层次求解动力学问题需要确定L的谱分解。因此，我们必须确定L的本征函数和本征值。我们看到，谱分解依赖于我们在希尔伯特空间里用过（且对可积系统仍然适用）的“正经”函数空间。按照基础教科书中一个很重要的定理，算符L在希尔伯特空间里有实本征值ln，时间演化证明是振荡项的叠加。实际上，刘维尔方程的形式解是ρ(t)＝exp（－itL）ρ（0），振荡项exp（－itln）＝costln－isintln与本征值ln相联系，未来和过去在其中起着相同的作用。为包括不可逆性，我们需要像ln=ωn-iγn这样的复本征值。于是，这将产生对时间演化的指数
衰减，
 它在未来（
t＞ 0）减小，而在过去（t＜ 0＝增加，从而时间对称性被打破。
但是，获得复本征值只有在我们离开希尔伯特空间才是可能的。现在，我们的主要目标是理解我们必须这么做的物理原因。这来自自然界中存在持续相互作用这个无可逃避的事实。我们考虑我们置身于其中的这个房间时，大气中的分子在不断地碰撞，这与诸如真空中有限数目的分子的瞬时相互作用完全不同。从而，大气中的分子在有限长的时间里相互作用，最终会逸入无穷。持续相互作用与瞬时相互作用之间的区别在从经典动力学向热力学的迁变中有至关重要的意义。经典动力学抽取一定数目的粒子，孤立地考察它们的运动，在相互作用永不停止时产生不可逆性。概言之，动力学在我们孤立地考察有限数目分子这个意义上对应于还原论观点。不可逆性则产生于一种更为整体的观点，其中我们把大量粒子所驱动的系统视为一个整体。要使这一区别更加清楚，我们将证明为什么需要奇异分布函数，且必须离开希尔伯特空间。
IV
瞬时相互作用可以用定域分布函数来描述。要描述像大气这样大的空间里的持续相互作用，我们需要退定域分布函数。为了更准确地确定定域分布函数与退定域分布函数ρ之间的区别，我们从一个简单的例子着手。在一维系统里，坐标x从-∞延伸到+∞，定域分布函数集中在这条线的有限区段上。一个特殊情况是定域在一个给定点上且随时间沿线运动的单个轨道。相反，退定域分布函数则扩展到整条线。这两类函数描述不同的情况。作为一个例子，我们考虑散射。在通常的散射实验中，我们制备一束粒子并将其射向障碍物（即散射“中心”），于是，我们有图5．l所示的3个阶段。
在这个实验里，粒子束首先到达散射中心，然后与散射中心相互作用，最后又呈自由运动。这里，重要之点在于，相互作用过程是瞬时的。相反，对于退定域分布，粒子束扩展到整条轴，则散射既无开始亦无终止，于是我们有了所谓持续散射。
在物理学史中，瞬时散射实验起了很重要的作用，它使我们得以研究基本粒子之间的相互作用，例如质子和电子间的相互作用。然而，在许多情况下，特别在像气体和液体这样的宏观系统内，我们有持续相互作用，因为碰撞永不停止。总之，瞬时相互作用与定域分布函数（如轨道）相关联；而持续相互作用与扩展到整个系统的退定域分布相关联。
热力学系统由持续相互作用所表征，因而必须用退定域分布来描述。为了刻画热力学系统，我们必须考虑热力学极限，即在粒子数N和体积V都增加的情况下，它们的比（即浓度N／V）保持不变。尽管形式上我们考虑极限
N→∞，V－>∞，当然，根本不存在粒子数目无穷多的动力学系统（宇宙也不例外）。但这个极限只不过意味着，用1/N或1/V项描述的表面效应可以被忽略。在所有宏观物理学中，热力学极限起着核心作用。没有这一概念，我们甚至不能定义物质的状态，诸如气态、液态或固态，不能描述这些物态之间的相变，也不能区分第二章讨论过的近平衡和远离平衡这两种情况。
现在我们来解释，为什么退定域分布函数的引入迫使我们离开那类正经函数，从而离开希尔伯特空间。为了做到这一点，我们必须考虑几个初等数学概念。首先，每一位数学专业的大学生都熟悉周期函数，如sin（2πx/λ)。当我们给坐标x加上波长λ时，这一函数保持不变，因为sin(2πx/λ)=sin(2π(x+λ)/λ)。其他的周期函数是cos(2πx/λ)，或是它们的复组合ei(2πx/λ)=cos(2πx/λ)+isin(2πx/λ)。我们通常用波矢k=2π/λ代替波长λ，并把指数eikz称为平面波。
其次，傅里叶级数（或傅里叶积分）的经典理论表明，坐标X的函数，比如f（x），可以表示为对应于波矢（的周期函数的叠加，或更特别地，可以把f（x）表达为平面波eikx的叠加。在这一叠加中，每个平面波乘以幅度φ（k），φ（k）是k的函数。函数φ(k)称为f(x)的傅里叶变换。
简言之，我们可以从坐标x的函数f(x)的描述变换成用波矢k的描述φ（k），当然，逆变换同样可能。注意到f（x）与φ（k）之间存在着一种对偶性亦很重要。若f（x）延拓一个空间间隔Δx（而在间隔外为零），则φ(x)延拓“谱”间隔Δk～1/Δx。当空间间隔Δx增加时，谱间隔Δk减小，反之亦然。
在第一章第III节和第三章第II节，我们定义了奇异函数δ（x）。如我们所见，δ(x)仅在X＝0处不等于0，从而谱间隔Δx等于0，且当Δk～1/Δx时，谱间隔是无穷大。相反，退定域函数在Δx→∞时导致了以k为自变量的奇异函数，例如δ（k）。所以，退定域分布函数对于描述持续相互作用是一个要素。在平衡时，分布函数ρ是哈密顿量H的函数（见第三章第l节）。哈密顿量包含动能，动能是动量p的函数而不是坐标的函数。因此，哈密顿量包含具有奇异傅里叶变换的一个退定域部分。这样，奇异函数在我们的动力学描述中扮演着一个重要角色并不令人感到惊异。事实上，正是我们对这些函数的需求迫使我们离开希尔伯特空间。是哈密顿量的函数的平衡分布，已经处于希尔伯特空间之外了。
V
我们现在借助刘维尔算符（参见第III节）将统计描述与轨道描述进行比较。我们感到很意外，这是由于统计描述引入了完全不同的一些概念，甚至在我们考虑的沿一条直线运动的自由粒子最简单的情况下已经显而易见。我们在第II节看到，粒子的坐标q随时间呈线性变化，而动量p则保持不变。相反，统计描述用与q的博里叶变换相联系的波矢k和动量P来定义。我们研究声学或光学问题时经常涉及波矢，但是在这里，波矢出现在动力学问题中了。原因是，对于自由粒子，刘维尔算符L仅是一个导数算符 。我们在第四章第I节注意到，本征函数是指数exp（ikx），本征值是pk/m。因为exp(ikx)＝cos
kx＋isinkx，所以本征函数exp（ikx）是周期函数。与定域于单个点上的轨道形成鲜明对照的是，它扩展到整个空间。在统计表述中，就自由粒子而言，运动方程的解可以通过平面波的叠加而得到。当然，在这个简单例子中，这两种描述预期是等价的。运用傅里叶变换理论，我们可以用平面波来重建轨道（参见图5．2）。因为轨道集中在一点，我们必须延拓整个谱间隔(Δk→∞)来叠加平面波。
结果，当q＝q0时，平面波的幅度通过相长干涉而增加；而当q=q0时，它们通过相消干涉而消失。在可积系统里，波矢k不随时间而变化。通过叠加平面波，我们可以在任一时刻重建轨道。但这里考虑的重要之点是，轨道不再是一个原始概念，而是一个作为平面波的结构的导出概念。因此可以设想，共振能够威胁产生轨道的相长干涉。只要轨道还被作为一个原始的、不可约的概念，这便无法加以考虑。已知由相空间中的点表示的轨道，我们可见，轨道坍缩对应于一个点随时间分解为多个点的情形，恰如我们在第一章分析过的扩散过程。于是也像扩散过程那样，同样的初始条件会导致多个轨道。
刘维尔算符的本征值如kp／m对应于庞加莱共振中出现的频率。它们依赖于k和p，而不依赖于坐标。因而，运用波矢k是讨论庞加莱共振所起作用的一个合理出发点。运用平面波，我们不仅能描述轨道（它们对应于瞬时相互作用），而且还能够描述退定域情况。如我们所见，这将导致波矢k中的奇异函数。我们现在用波矢的语言来考察相互作用对统计描述的影响。
VI
假定哈密顿量中的势能V为二粒子相互作用之和，则它满足充分确立的下述定理：粒子j和粒子n之间的相互作用修正两个波矢kj和kn，但它们的和守恒。这里有守恒律：kj＋kn＝kj'＋kn'，其中kj'和kn'是相互作用后的波矢。
考虑由自由运动所分开的逐次事件，我们能够在统计形式内用图解方法来描述动力学演化。在每个事件处，波矢k和动量p均被修正，但它们在事件之间保持守恒。我们现在更详细地考察这些事件的特性。
在第三章第I节，我们引入了关联概念，现在我们将以更大的精度定义它。分布函数p（q，p，t）既依赖于坐标也依赖于动量。若我们把这一函数对坐标求积分，则会失去关于粒子在空间中位置（从而关于关联）的所有信息。我们得到函数ρ0内（p，t），它仅提供关于动量的信息，所以ρ0称为关联真空。另一方面，对除了粒子i和j的坐标qi和qj以外的所有坐标求积分，我们保留关于粒子i和j之间可能的关联的信息，这样的函数内称为二粒子关联。同理，我们可以定义三粒子关联等等。在统计描述中，用波矢取代通过其傅里叶变换依赖于分布函数的坐标很重要，因为波矢出现于刘维尔算符的谱分解之中。
现在，我们将考虑波矢守恒律。其中，每一个事件可以用有两条入线kj、kn和两条出线kj'、kn'的点 表示，且kj+
kn＝kj'+kn'。
另外，在每一点处，相互作用粒子的动量p都有所改变，导数算符出现。图5．3所示为这种最简单的事件。
我们把图5．3所示的图叫做传播事件或传播图。它对应于粒子j和n之间二粒子关联内的修正。但我们也可以从其中kj＝kn＝0的关联真空ρ0出发，产生二粒子关联ρkj,kn,且用kj=kn＝0保持波矢之和守恒（参见图5．4）。于是，我们有所谓关联产生图或产生片断。我们也有如图5.5所示的消灭片断，它把二粒子关联变换成关联真空。
 
我们现在开始把动力学视为关联的历史。例如，图5．6表示从关联真空开始的五粒子关联的出现，与相互作用相关联的事件产生关联。
现在，我们能够把庞加莱共振效应引入到动力学的统计描述之中。庞加莱共振与动力学过程耦合，恰似共鸣在音乐里与谐波耦合。在我们的描述中，庞加莱共振与产生片断和消灭片断耦合（参见图5．7），产生起始于给定关联态（关联真空仅仅是一个例子）且最终返回相同关联态的新动力学过程。在图5．7里，这些动力学过程描绘为气泡。关联态受到保护，而动量分布改变（记住每一个涡旋引入一个导数算符
）。
这些气泡对应于必须作为一个整体加以考虑的事件，它们引入了非牛顿因素，因为，在轨道理论中不存在类似的此种过程。这些新过程对动力学有显著的影响，因为它们打破了时间对称性。实际上，这些过程导致了总是在不可逆过程的唯象理论（包括玻尔兹曼动理学方程）中猜测的那类扩散。为了表示与唯象描述并列的概念，我们把作用于分布函数上的这些新因素称为碰撞算符。*
*我们在第一章第III节看到，频率之间的庞加莱共振导致小分母发散。这里动量为P的粒子的频率为kp/m，k是波矢（参见第IV节）。对于LPS，k是连续变量，我们能够避免发散并用δ函数表示共振。这涉及与解析延拓相联系的一个数学分支（见本章注释中的文献）。对于二体过程，δ函数的辐角是k/m（p1-p2），由此得到每当频率kp1/m
和kp2/m相等时的贡献，否则为零。因此，波矢k=0在δ函数的辐角为零中，起着特别重要的作用，记住，当x＝0时，δ（x）＝∞，当x≠0时，δ（x）=0。零波矢k对应于无穷波长，从而对应于空间中的退定域过程。所以，庞加莱共振不能被包括在轨道描述之中。
我们的方案包含通常的动理学理论，但只把它作为一个特例。如麦克斯韦所引入的，这一理论传统上主要围绕速度分布的演化，其中若在初始时刻施加扰动，仅仅几次碰撞就足以重建平衡。我们的方案与之相反，考虑与越来越多粒子相关联的越来越高关联的渐次建立。这一过程需要长的时间尺度，与多年来得到的数值模拟一致。结果，不可逆性导致显著改变宏观物理学的长记忆效应。
许多超出传统动理学理论的新成果已经获得。然而，介绍这些成果超出了本书的范围。它们将在另一本著作中得到详细介绍。
我们正开始理解不可逆性的真正含义，说这一句话就够了。我们来考虑衰老过程的简单类比。在我们的时间尺度上，组成我们身体的原子是不朽的。变化的是原子与分子之间的关系。在这个意义上，衰老是群体的特性，而不是个体的特性。这对无生命世界同样成立。
VII
我们现在回到我们的原目标，即用分布函数ρ在统计层次上求解动力学问题。对于确定性混沌情形，这个解就是演化算符的谱表示，它在经典动力学中就是刘维尔算符。我们先考虑与导致奇异函数的持续相互作用相联系的退定域分布函数（参见第III、第IV节）。结果，我们必须离开受限于定域正经函数的希尔伯特空间。然后，如第VI节所见，我们引入导致与扩散相关联的新动力学过程的庞加莱共振。
一旦我们把这两个特点考虑进去，将会得到不可约的复杂的谱表示。进而言之，复杂意味着时间对称性被打破；不可约意味着我们不能回到轨道描述。动力学定律现在有了新含义。通过结合不可逆性，它们不表达确定性，而表达慨然性。只有当我们放松我们的条件，考虑与有限数目粒子相联系的定域分布函数，我们才能恢复牛顿轨道描述，但扩散过程通常占主导地位。
因此，存在着许多情况，其中我们预期偏离牛顿物理学，并且我们的预言已被广泛的计算机模拟所证实。在第IV节，我们引入了热力学极限，即当粒子数N→∞，体积V→∞时，浓度N/V保持不变。在热力学极限下，相互作用不断继续，从而只能应用统计描述。大量的数值模拟表明，即使我们从涉及粒子数渐增的轨道开始，则扩散过程接替，轨道“坍缩”，因为随着时间的推移，它将变换成一个退定域奇异分布函数。
我们的新动理学理论在描述所有时间尺度的耗散过程方面，如实验室或生态圈里所观测到的，具有重大的意义。但这只是它众多新特征中的一个。由于庞加莱共振，本节描述的动力学过程产生了长程关联，即使粒子之间的力是短程的，唯一的例外是平衡态，其关联范围由粒子间的力程所确定。这解释了第二章所述的事实，非平衡产生新的相干性，这一点已被化学振荡和流体力学中的流体流动所证实。我们现在认识到，平衡物理学给了我们一个错误的物质图象。我们再次看到，物质在平衡态下是“盲目的”，而在非平衡态下才开始“看见”。
总之，我们现在能够超越牛顿力学。经典力学中所用的轨道描述的有效性受到严格地限制，热力学和轨道描述不相容，因为它需要在平衡和离开平衡时的统计方法。对应于我们周围现象的绝大部分动力学系统都是LPS，这一事实正是热力学普遍有效的原因。瞬时动力学相互作用，如散射，并不代表我们在自然界（其中相互作用是持续相互作用）所遇到的情况。作为庞加莱共振的结果产生于我们统计描述中的碰撞过程至关重要，它们使时间对称性破缺，并使演化模式与热力学描述相一致。
与热力学相联系的自然之微观描述，与科学家们传统上从牛顿原理得到的舒适的、时间对称的描述没有什么关系。我们所描述的自然，是一个涨落的、嘈杂的、混沌的世界，一个更近似于希腊原子论者所设想的世界。在第一章，我们描述了伊壁鸠鲁的二难推理，他所设想的倾向不再属于物理学之外的哲学梦了。它正是动力学不稳定性的表达。
当然，动力学不稳定性只是提供产生自然演化模式的必要条件。一旦我们完成了我们的统计描述，就还能表述观察复杂性——在宏观层次上的耗散结构——突现所需的附加因素。我们现在开始认识组织的动力学之源，认识对自组织和生命出现皆至关重要的复杂性的动力学根源。
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