第一节
对于动物机体来说，它自己的身体不同部位的相互关系以及物理对象与这些不同部位的相互关系，原来具有最重大的意义。它的生理空间感觉系统建立在这些关系的基础上。在比较复杂的生活条件下，简单的和直接的需要的满足是不会发生的，这些条件导致理智的增长。于是，相互接近的物理的、尤其是空间的物体行为可以获得超越于暂时感觉兴趣的非即时和间接的兴趣。以这种方式，世界的空间图像被创造出来，起初本能地被创造，接着在实践的艺术中被创造，最后科学地在几何学形式中被创造。物体的相互关系就它们由空间感觉决定而言是几何学的关系，或者在这样的感觉中找到它们的表达。正如没有热的感觉就不会有热理论一样，没有空间感觉也不会有几何学；但是，热理论和几何学二者附带需要关于物体的经验；这就是说，它们二者必须超越构成它们的独特基础的感觉域的狭窄边界。
第二节
孤立的感觉只是在动物生活的最低级阶段才具有独立的意义；例如，像在反射运动中，在消除对皮肤某些讨厌的刺激中，在蛙的猛扑反射中等等。在较高级的阶段，注意不仅仅对准空间感觉，而且也对准与空间感觉合在一起的、我们称之为物体的其他感觉的错综的和密切的复合。物体引起我们的兴趣；它们是我们的活动的对象。但是，我们的活动的特征巧合地由物体的位置决定，不管它是近还是远，不管在上还是在下等等，换句话说，是由概括其特征的空间感觉决定的。因此，反应模式由能够达到物体的无论那些东西决定，不管通过伸展臂膀，通过几个或许多步骤，通过投掷物体，还是其他别的什么。物体激起的易感觉的要素的量（数量），它覆盖的位置数量，也就是说它的体积，在所有其他事情相同时，正比于它满足我们的需要的能力，因而具有生物学的重要性。虽然我们的视觉和触觉本来只是由物体的表面产生的，但是强大的联想尤其驱使原始人比他实际观察的想像得更多，或者像他以为的那样，察觉得更多。他想像，他仅仅察觉的表面包围的地方充满物质；当他看见或抓住他有几份熟悉的物体时，情况尤其如此。意识到我们只是察觉物体表面，需要显著的抽象能力——不能把这种能力归于原始人。
第三节
被捕食的和有用的对象的特别明显的形状，在这方面也具有重要性。人通过与他的环境的交流学会了解某些确定的形式，即某些特殊的空间感觉的组合，甚至用纯粹生理的特征也能毫不含糊地刻画它们。直线和平面由于它们的生理学上的简单性被区分高于其他形式，圆和球同样也是这样。对称的和在几何学上相似的形式的密切关系，被纯粹的生理学的特征揭示出来。我们从我们的生理经验中获取的形状的多样性，决不是无足轻重的。最后，通过使用身体的对象，物理经验也把它的丰富定额贡献给普遍的贮存。
第四节
粗糙的物理经验迫使我们把某种经久不变性赋予物体。除非有不这样做的特殊理由，也把同一经久不变性归于复合“物体”的个别属性。我们也认为物体的颜色、硬度、形状等是恒定的；尤其是，我们把物体视为相对于空间是恒定的、不可破坏的。空间的恒定性、空间的实质性的假定，在几何学中找到它的直接表达。我们的生理的和心理的组织独立地预先倾向于突出恒定性；因为普遍的物理恒定性必然地在我们的组织——这本身是物理的——中形成积淀，尽管在种族的适应中十分确定的物理恒定性曾起过作用。由于记忆在物体原来的形式和维度上复活了以前感知的物体的图像，它为辨认相同的物体提供了条件，从而为恒定性的印象奠定了第一个基础。但是，几何学还需要某些独特的经验。
第五节
设物体K被突然从环境FGH运送到环境MN（而离开观察者A运动。对于视觉观察者A来说，物体K在大小上减小，并一般地呈现不同的形式。但是，对于和K一起运动并相对于K保持相同位置的视觉观察者B来说，K依然是不变化的。触觉观察者经历类似的感觉，虽然各自的减小在这里正需要接触感觉不是传心术感觉的理由。A和B的经验现在必须是和谐的，他们的矛盾必须被消除——当同一观察者交互地扮演A和B的角色时，这个要求变得尤为紧迫。他们能够是和谐的唯一方法，是把独立于它相对于其他物体的位置之恒定的空间性质赋予K。在观察者A中由K决定的空间感觉，被认为依赖于其他空间感觉（K相对于观察者A的身体的位置）。但是，在A中由K决定的这些相同的空间感觉，独立于表示K相对于B、或相对于FGH……MNO的位置的其他空间感觉。我们在这里涉及的恒定性，正处在这种独立性中。因此，几何学的根本假定基于经验，尽管是理想化的类型的经验。
第六节
由于所考虑的经验采取明显的和完全决定的形式，因而物体K必须是所谓的刚体。如果与三种截然不同的感性知觉作用联系在一起的空间感觉依然是不改变的，那么针对空间感觉复合的不变性给出的条件就由刚体决定。从感官生理学的观点来看，对物体产生的空间感觉的这种决定借助三个空间感觉要素从而刻画了刚体的特征。这对于视觉和触觉感觉二者也有效。在使用这种标示时，我们正在思考的不是刚性——在定义刚性时我们会被迫进入不同的感觉域——的物理条件，而是仅仅给予我们的空间感觉的事实。实际上，我们现在正在把每一个物体视为具有所分配的性质的刚体，甚至把流体也如是观，只要它们的部分彼此之间不相对运动。
第七节
尽管几何学不涉及有形的对象、而涉及理想的对象这一经常反复的争论是恰当的，但是依然不容怀疑，几何学起源于集中在有形物体的空间关系的兴趣。它拥有这一起源的最分明的标志，它的发展路线只有在考虑到这些痕迹时才是可以充分理解的。我们对于物体的空间行为的知识建立在它们产生的空间感觉的比较之基础上。即使没有人为的或科学的最小帮助，我们也能获得丰富的空间经验。我们能够近似地判断，我们察觉相互并排地在不同距离处于不同位置的刚体，当使它们相继处于同一位置时，它们将近似地产生相同的还是不相似的空间感觉。我们十分恰当地了解，一个物体是否将与另一个物体重合，平直地放在地上的杆子是否将达到某一高度。不过，我们对空间的感觉受生理环境的支配，生理环境对于被比较的成员来说，从来也不能是绝对等价的。在每一个严格检查的案例中，必然要把感觉的记忆痕迹与实在的感觉比较。因此，如果它是物体相互之间精密的空间关系问题，那么我们必须提供尽可能不依赖生理条件的特征，从而难以控制。这是通过把物体比较完成的。物体A是否与另一个物体B重合，是否能够使它精密地占据另一个物体充满的空间，也就是说，在相似的环境下两个物体是否产生相同的空间感觉，这一切能够以极大的精确性估计。我们认为，这样的物体是在空间上或几何学上在各个方面相等的——是全等的。感觉的特点在这里不再是权威的；它现在仅仅是感觉的相等或不相等的问题。如果两个物体都是刚体，那么我们能够把我们在与第一个比较方便的、比较容易移动的标准物体A相关联中收集的所有经验应用到第二个物体B。我们将把前者回复到环境，以致使用特殊的比较物体或标准物体对每一个物体来说既不必要，也不可能。最方便的比较物体——虽则仅仅勉强地可以应用——即我们总是在我们眼前具有移动时不变的物体，是我们的手和足（feet）、我们的臂和腿。最古老的度量名称清楚地表明，我们最初用一手之宽（handbreadth）、前臂长（forearms ells）、脚长（英尺）（feet）、步度（Paces）等进行我们的测量。只不过较高的测量精确度是由引入约定的和仔细保存的物理标准开始的；原理依然是相同的。度量能使我们比较难以移动或实际不动的物体。
第八节
正如已经评论的，具有最强烈兴趣的东西，不是物体的空间性质，而主要是物体的物质性质。这个事实甚至在几何学的开端肯定找到了表达。物体的容积被本能地作为描述物质性质的量来考虑，在它的几何学性质收到接近深刻思考的任何东西之前好久，就开始成为争论的课题。然而，正是在这里，比较即容积的测量获得它的最初的意义，从而在早期的几何学的主要的和最重要的问题中占据了它的位置。头一批容积测量无疑是液体和果实的测量，是用中空的量具进行的。目标是方便地确定同样的物质的量，或同类的、形状相似的（等价的）物体的量（数量）。因此，相反地，贮藏室（谷仓）的容积很可能起初就用它能够容纳的同类物体的量或数量来估算。用容积单位测量容积很可能是晚得多的概念，只能在较高的抽象阶段上才能得以发展。
第九节
面积的估计无疑也是由一块田地能够容纳的结果实的或有用的植物的数量，或由能够在其中播种的种子的量引起的；或者可能由这样的工作需要的劳力引起的。当相同大小和形状的田地彼此相处较近时，在这种关联中显然容易使人想到用一个面测量一个面。在这里，人们几乎无法怀疑，由n个相同大小和形式的地块组成的田地也具有n倍的农业产值。当我们考虑埃及人、甚至罗马农人通常所犯的面积测量的错误时，我们不会倾向于低估这一理智步骤的意义。即使对于像希腊人这样的具有杰出的几何学天才的人来说，而且在后来的时期，我们也偶尔遇见具有相等周长的面在面积上是相等的观念的零星表达。当波斯的“超人”薛西斯希望清点军队——他必须“供养”它们，他在鞭打下驱使他们跨越赫勒斯滂进攻希腊人——时，他采取下述步骤：让10000人整队紧紧挤在一起。用围栏把他们复盖的面积围起来，为了计数别的10000，把军队的每一个相继的分队，或者更恰当地讲，把一群奴隶赶进并充满栅栏。在这里，我们碰到下述观念的相反的应用：用相等的、等价的、直接毗连的、覆盖面的物体的量（数量）测量面。在抽象中，起初是本能地，然后是有意地，从这些物体的高度过渡到借助面的单位测量面。类似的用容积测量容积的步骤要求更多实践的、受过几何学训练的直觉。它是在较晚达到的，甚至在今天对民众而言也不大易懂。
第十节
用一天的旅程、旅行的时间等计算的对长距离的最古老的估计；无疑建立在努力、劳作和为行走这些距离必需耗费的时间的基础上。但是，当用手、脚、臂、棒或链的重复应用测量长度时，那么准确地观察，测量是通过同类物体的计数进行的，我们实际上再次从事容积的测量。这一概念的奇特性在这种阐明的过程中将消失。现在，如果我们起初本能地、然后有意识地从物体的两个横向线度抽象，那么我们便达到用线来测量线。
第十一节
通常把面定义为空间的边界。因此，金属球的面是金属和空气之间的边界；立或者是金属的一部分，或者是空气的一部分。类似地，一维的线是面的边界；例如，赤道是半球面的边界。无维度的点是线的边界；例如，圆的弧的边界。点通过它的运动生成一维的线，线通过它的运动生成二维的面，面通过它的运动生成三维的立体空间。这一概念根本没有把困难给予擅长抽象的心智。无论如何，它遭受了它并未显示出来的、但是相反地却人为地隐蔽起来的退却，即藉以达到抽象的自然而实际的途径。因此，在长度的测量被讨论之后，当从这种观点尝试定义面的度量或面积的单位时，便感到某种不便。
第十二节
如果把每一种测量视为借助直接毗连的、在空间上等价的、或者至少假设性地等价的物体来计数空间，而不管我们涉及的是容积、面、还是线，那么便达到比较同类的概念。可以把面看作是处处具有相同的恒定厚度的物质薄板，我们可以使厚度随意变小，变得逐渐消失地小；可以把线看作是具有恒定的、逐渐消失地小的厚度的绳子或丝线。于是，点变成我们有目的地从其广延抽象的小的有形的空间，不管它是另一个空间的、面的一部分，还是线的一部分。在计数中使用的物体可以具有符合我们需要的任何小东西或任何形式。没有什么事情妨碍我们以通常的方式把这些图像理想化，而这些图像只是由于不顾薄板和丝线的厚度，以所指明的自然的方式达到的。呈现出几何学基本概念的通常的和多少有些胆怯的模式，无疑归因于下述事实：使数学摆脱它的早期基本形式的历史的和偶然的镣铐之无限小方法，在稍后的发展时期之前并未开始影响几何学，几何学与物理科学坦白而自然的联盟也在较晚之前还未通过高斯恢复起来。但是，这些要素现在将不带有我们的较充分洞察的长处，其原因还没有清楚地看出。甚至莱布尼兹也提到这样的事实，即在我们的几何学定义中从固体开始也许是比较合理性的。
第十三节
借助固体对空间、面和线的测量，是一个我们精制的几何学方法变得完全与之疏远的概念。可是，这一观念不仅仅是目前理想化的方法的先驱，而且它在几何学的心理学中起着重要的作用，而且我们发现它在发展的后期还强有力地活跃在这个领域的研究者和发明者的工作室。卡瓦列里的除不尽法通过这一观念好像最能理解。采用他本人的说明，让我们把要比较的面（求面积）看作是仿照织物的经线的方式，用我们意欲的任何数目的等距离的平行丝线覆盖，把要比较的空间（求容积）看作是用平行的薄纸片充满。于是，丝线的总长度可以作为面的量度，纸张的总面积可以作为容积的量度，测量的准确性可以进行到我们希望的任何一点。如果相同的等距离的物体充分接近到一起且具有恰当的形式，那么其数目恰如绝对覆盖面或绝对充满空间的等价物体的数目一样，完全能够提供面和一致空间的数值量度。如果我们使这些物体收缩，直到它们变成线（直线），或者直到它们变成面（平面），那么我们将得到面分为面元和空间分为空间元，同时得到用面习惯测量面和用空间习惯测量空间。卡瓦列里的有缺陷的讲解不适应他的时代的几何学状况，它招致几何学史家对他的漂亮的和富有创见的步骤进行十分严厉的批评。亥姆霍兹的批判性判断在易受攻击的时刻服从他的想像力，他在他的伟大的年轻时代的著作中能够认为面是包含在它之内的线（纵坐标）的总和，这个事实只不过是这个独创性的自然的概念达到的伟大深度的证据，是它藉以再断言它自己的便利的证据。
第十四节
于是，我们首先具有可动物体存在的普遍经验，不管物体的可动性，必须把上面记述的感觉中的某种空间的恒定性、恒久地等价的性质归因于这一点——一种构成测量概念的基础的性质。但是，除此以外，还存在着在职业和艺术的追求中本能地收集的诸多形形色色的特殊经验，这些特殊经验把它们的份额也贡献给几何学的发展。由于这些经验部分地以未曾料到的形式出现，部分地相互和谐一致，有时在不小心应用时，甚至变得卷入看来好像是自相矛盾的东西之中，因此它们扰乱了思想的进程，激励思想追求这些经验的有序的逻辑关联。我们现在将全神贯注于这些过程中的某一些。
第十五节
即使希罗多德的众所周知的陈述也是不够格的，他在陈述中把几何学的起源归之于在埃及人中的土地测量；即使该叙述也完全丢失了欧德摩斯（Eudemus）关于早期几何史留下的东西和我们所知的从普罗克洛斯那里摘录的东西，在我们看来，也许不可能怀疑几何学的前科学时期存在过。第一个几何学知识是偶然地、在没有计划的情况下，在实践经验的路线上，在与最多变的使用的关联中得到的。它是在科学精神或对上述经验的相互关联的兴趣仅仅有点发展的同时获得的。甚至在我们的几何学开端的贫乏历史中，这也是明白的，不过在一般的原始文明的历史中更加如此，在那里众所周知，技术的几何学应用存在于如此之早的野蛮时代，以致绝对地排除科学努力的假定。
第十六节
所有原始部落都从事编织技艺，在这里像在他们的绘图、绘画和木刻中一样，出现了由最简单的几何学形式构成的更可取的装饰主题。因为这样的形式像我们的儿童绘图一样，符合他们想要模仿的对象的简化的、典型的、图式的概念，而用他们的原始工具和手工的灵巧最容易制作的也正是这些形式。由一系列类似形状的、相互颠倒的三角形或由一系列平行四边形构成的这样的装饰（图 11）， 清楚地暗示出这样的观念：当把三角形三个角的顶点放置在一起时，它们之和构成两个直角。在由相同形状的不同颜色的石料建造习惯的镶嵌图和铺路面时，这个事实也不可能逃脱亚述、埃及、希腊等地的陶工和石工。一点周围的平面场地能够被仅仅三个正多边形，即被六个等边三角形、四个方形和三个正六边形完全填满，这个毕达哥拉斯学派的定理暗示出同一来源。在早期希腊人证明关于任何三角形角之和定理的下述方法中，也揭示出相同的起源：把三角形分割（通过画高线）为两个直角三角形，并相应于这样得到的部分完成矩形。同样的经验也发生在其他许多场合中。如果测量者绕多边形地块步行，那么他将在到达起点时发现，他转了由四个直角构成的一个完整的循环。相应地，在三角形的案例中，由于内角和外角由六个直角构成（图 12）． 在减去循环的三个外角a，b，c后，将依然有两直角作为内角之和。高斯的同代人蒂鲍（Thibaut）使用了定理的这一推导。如果制图员通过绕内角总是在相同的方向上转动他的直尺画三角形（图13）， 那么他将在抵达第一个边时再次发现，若他的直尺的棱在开始时向着三角形外部放置，则三角形此时将处在内部。在这个步骤中，直尺在相同的方向扫过三角形的内角，在这样扫过时完成了半个循环。泰勒评价说，折布或折纸可以导致相同的结果。 如果我们以图14所示的方式折一个三角形纸片，那么我们将得到在面积上等于半个三角形的双矩形，在这里将看到，在a处重合的三角形的角之和是两直角。虽然通过折纸可以得到一些十分令人惊讶的结果，但是几乎不能假定，这些过程在历史上对几何学来说是十分多产的。该材料具有非常有限的应用，使用它的工匠一点也未受刺激去进行精密观察。
 
第十七节
因此，平面三角形的角之和等于一个确定的量即两直角的知识，是通过经验达到的，这与杠杆定律及玻意耳和马略特（Mariotte）定律没有什么不同。的确，无论无助的眼睛，还是用最灵敏的仪器测量，都不能绝对地证明，平面三角形的角之和严格地等于两直角。但是，该案例恰恰与杠杆定律和玻意耳定律相同。因此，所有这些定理都是理想化的和图式化的经验；因为实际的测量将总是显示出与它们的轻微偏离。气体定律被进一步的实验证明仅仅是近似的，在不得不以极大的精确性描述事实时需要修正它，而杠杆定律和关于三角形的角之和的定理却像会导致我们预期的实验的不可避免的误差一样，依然精密地与事实一致；可以使建立在这两个作为初始假定的定律基础上的所有结果成为同一陈述。
第十八节
处在同一直线上以它们的底相互并排地铺设的相等而且相似的三角形，也必定导致十分重要的几何学知识的片断（图15）。如果把三角形沿直线移置在平面上（没有转动），那么它的所有点，包括它的边界线的点，将描绘相等的路线。因此，相同的边界线将在任何两个不同的位置提供在所有点彼此等距离的两个直线系统，该操作保证了由位移的线在两条直线的相应侧面形成的角相等。所以在位移的线的同一侧上的内角之和被决定是两直角，这样便达到了欧几里得的平行定理。我们可以添加说，扩大这类铺设的可能性无限制地、必然地把增加的明显性给予这个发现。直到今天，三角板沿直尺滑动依然是画平行线的最简单。最自然的方法。几乎没有必要评说，平行定理和三角形角之和定理是不可分割地关联的，只不过描述了同一经验的不同方面。
第十九节
上面提及的石工必须无困难地做出正六边形能够由等边三角形构成的发现。这样直接产生了把圆分割为部分的最简单的例子，即用半径把圆分为六部分、把它分为三部分等等。每一个木工本能地、几乎在没有思考的情况下就知道，由于圆的完美的对称性，能够从圆柱形的树干以无限数目的不同方式切割出具有矩形对称横截面的朽木。桁木的棱都将处在圆柱的表面，截面的对角线通过中心。按照汉克尔和秦勒的的观点，正是以这种方式，可能做出了在半圆上内接的所有角都是直角的发现。
第二十节
拉长的线提供了直线的显著的形象化。直线是由它的心理学的简单性刻画出特征的。它的所有部分引起相同的方向感觉；每一点都唤起邻近点的空间感觉的平均值；每一个无论多么小的部分都类似于每一个无论多么大的其他部分。虽然它影响了许多作者的定义，但是几何学家用这种心理学的特征却无法完成定义。形象化的图像必定是被关于在几何学上合用的物质对象的物理经验丰富的。设把绳子一端扎在A，没把它的另一端通过环形物扎在B。如果我们在B处在终端拉绳子，我们将看到以前处于A和B之间的绳子的部分在B处通过，而与此同时绳子将趋近直线的形式。与组成曲线相比，较少数目的绳子的相似部分即等价的物体足以组成连结A和B的直线。断言直线借助纯粹的想像被认为是最短的线，这是错误的。就质而论，我们的的确确能够在想像中以完善的精确性和可靠性复制绳子经历的形式和长度的同时发生的变化。但是，这无非是关于物体的先验的经验——思想中的实验——的复活。对空间的纯粹被动的冥思从来也不会导致这样的结果。测量是包括物理反应、重合实验在内的经验。具有不同方向和长度的形象化的或想像的线不能即刻相互应用。必须用被认为是不可改变的物质对象实际地经验这样的程序的可能性。把直线作为两点之间最短距离的本能的知识赋予动物是错误的。如果刺激吸引动物的注意力，如果动物如此转动以使它的对称平面通过刺激的对象，那么直线是唯一地由该刺激决定的运动的路线。在洛布关于动物向性（tropisms）的调研中，明确地表明了这一点。
第二十一节
进而，仅有形象化不能证明三角形的任何两边在一起大于第三边。确实，如果把两边通过绕底角顶点旋转放在底上，那么只有通过想像行为才能看到，两边与它们在圆弧上运动的自由端点最终将交叠，从而比填补底还要多。但是，我们不应该达到这一描述，倘若在与物质对象的关联中实际上没有目睹该程序的话。欧几里得从每一个三角形的较大边与较大角相对的事实，迂回地和人为地演绎这个真理。但是，在这里，我们知识的来源也是经验——物理的三角形的边运动的经验；然而，这个来源被演绎的形式吃力地隐蔽起来，这并没有伴随明白和简洁的增加。
第二十二节
但是，用在先的经验的真理并未穷竭直线的性质。如果把任何任意形状的金属线放在木板上与两个直立的钉子接触，并如此沿着滑动，以使它总是与钉子接触，那么在钉子之间的金属线的部分之形式和位置将不断地变化。金属线越直，变化将越轻微。弯曲的金属线在绕它自己的固定点中的两个转动时，它将继续不断地改变它的位置，但是直的金属线将依然保持它的位置，它将在它自身之内转动。现在，当我们把直线定义为由它的点之中的两个完全决定的线时，在这个概念（concept）中，除了从所提到的物理经验推导出的经验概念（no－tion）——这种概念决不是由想像的生理行为直接提供的——的理想化之外，不存在其他东西。
第二十三节
平面像直线一样，也是由它的简单性刻画其生理学上的特征的。它似乎在各个部分都是相同的。每一点都唤起邻近点的空间感觉的平均值。每一部分无论多么小都与每一其他无论多么大的部分相像。但是，如果必须把这些性质表达为几何学的陈述，那么也需要在与物理对象的关联中获得的经验。平面像直线一样，在生理学上关于它本身为对称，倘若它与物体的中线平面重合或与同一平面成直角的话。但是，为了发现对称是平面和直线的恒久的几何学性质，必须把二者的几何作图作为可动的、不可改变的物理对象给出。生理上的对称与度规性质的关联也需要特殊的度规证明。
第二十四节
在物理上，平面通过把三个物体在一起摩擦来构造，直到得到三个面A，B，C为止，每一个面严格地符合另一个，既没有凸面，也没有凹面，而只有平坦的面，正如图16表明的，这是一个能够完成的结果。实际上，凸状和凹状是通过摩擦去除的。类似地，比较真实的直线能够借助不完善的直尺得到：首先放置直尺使它的末端紧靠点A，B，接着从它的位置转动它通过180度的角度，再把它紧靠A，B放置，此后把如此得到的两条线之间的平均值作为比较完善的直线，并用最后得到的线重复该操作。在通过摩擦产生平面时，也就是说，在通过摩擦产生在所有点和两侧具有相同形式的面时，经验提供了附带的结果。把这样两个平面一个放在另一个之上，人们将获悉，该平面到自身之上是可取代的，在自身之内是可转动的，正像直线那样。在平面上任何两点之间拉长的丝线完全落在平面内。横越平面任何边界部分的拉紧的布块与平面重合。因此，平面在它的边界代表面的极小值。如果把平面放在两个尖锐的点上，它还能够绕连结点的直线转动，但是任何在这条直线之外的第三点固定了平面，也就是说，完全决定了它。
在上面提及的给维塔莱·焦尔达诺（Vitale Giordano）的信中，当莱布尼兹把平面定义为把无界的固体分为两个全等的部分，把直线定义为把无界的平面分两个全等的部分时，他最直率地使用了这种关于物质对象的经验。
第二十五节
如果把注意力指向平面关于它自身的对称性，并且假定两点一个在它的每一侧，每一个关于另一个为对称，那么将发现，平面上的每一点都与这两点等距离，莱布尼兹的平面定义达到了。直线和平面的一致性和对称性，分别是它们为长度和面积的绝对极小值之结果。尽管为给出极小值的边界必须存在，但却没有包含其他附属条件。极小值是唯一的，在它的种类方面是单独的；因此，它关于边界点为对称。由于极小值的绝对性，每一部分不管多么小，再次展现出相同的极小性质；从而展现出一致性。
第二十六节
有机地相关的经验真理可以相互独立地造成它们的外观，无疑在已知它们相关的事实之前好久，这一点就被发现了。但是，这并没有妨碍它们后来被辨认出是包含在另一个之中并被另一个决定，是可以相互演绎的。例如，假定我们获知了直线和平面的对称性和一致性，我们乐于演绎，两个平面的交是直线，平面的任何两点能够用整个处在平面内的直线连结起来等等。只是难以觉察的和不引人注目的经验的极小值需要这样的演绎，这一事实不应该诱入下述错误：认为这个极小值是完全多余的，相信仅仅形象化和推理对构造几何学来说是充分的。
第二十七节
像直线和平面的具体的形象的图像一样，我们关于圆、球、柱等等的形象化也这样被物质的经验丰富，并以这种方式首次表示服从富有成效的几何学处理。促使我们的儿童在他们的概念和图画中仅仅保留典型特征的同样经济的冲动。也导致我们把从我们的经验中导出的图像图式化和概念理想化。虽然我们在自然界中从未碰到完善的直线或精密的圆，但是在我们的思维中，我们却事先计划好从这样存在的偏离中抽象。因此，几何学涉及的是通过经验对象的图式化产生的理想对象。
第二十八节
我在其他地方评论说，在初等的几何学教育中，占支配地位地修习问题的逻辑方面，而忽视向青年学生打开包含在经验中的知识的源泉，确实是错误的。使人感到可喜的是，人们注意到，与我们相比较少固于传统的美国人破除了这种体制，正在把一种实验几何学作为导言引入系统的几何学教育。
第二十九节
在几何学概念的本能的、技术的和科学的获得物之间，无法画出一条截然分明的界线。一般地讲，我们也许可以说，由于在工业和经济领域里的劳动分工，由于日益增长的特殊对象的使用，知识的本能的获得物进入背景之中，知识的技术的获得物开始了。最后，当测量本身变成目的和职业时，在各种各样的测量操作之间得到的关联获得了强大的经济利益，我们达到几何学的科学的发展时期，我们现在继续向这一点行进。
第三十节
几何学的度量相互依赖的知识是用形形色色的方法达到的。在用面开始度量面之后，某种另外的进步几乎是不可避免的。在一个容许分为相等的部分的平行四边形域中，以致每一个包含m个域的n排部分域并排相互放置，计数这些域是不必要的。通过把测量边的数目在一起相乘，便发觉域的面积等于mn这样的域，而且很容易发现用画对角线形成的两个三角形中的每一个面积等于mn／2这样的域。这是算术对于几何学的第一次和最简单的应用。同时发生的是，面积的度量依赖于其他度量即线和角的度量，也被发现了。人们发觉，矩形的面积比具有相同长度的边的斜平行四边形的面积大；因而，面积不仅取决于边长，而且也取决于角度。另一方面，正如容易看到的，由平行于底的木条构成的矩形，通过位移能够转变为具有相同高和底的任何平行四边形而不改变它的面积。正像每一个木工知道的，具有它们的给定的边的四边形在它们的角方面还未被决定。他添上对角线，使他的四边形变成三角形，而三角形在边给定时是刚性的，也就是说，就它们的角而言也是不可变的。由于察觉到度量相互依赖，从而引入真实的几何学问题。施泰讷（steiner）贴切而公正地把他的主要著作冠以《几何学图形相互依赖的系统发展》的书名。在施内尔（Snell）有独创性的、未受赏识的论基础几何学的专题著作中，上述问题甚至对初学者来说也变得显而易见。
第三十一节
用金属线构造一个平面的物理的三角形。如果其边之一绕一个顶点转动，以便使在那点的内角增加，那么将看到运动的边改变它的位置，对边随角一起变大。金属线除了现在之前的那些以外，将需要新的片断完成最后提到的边。这个实验以及其他相似的实验能够在思想中重复，但是心理实验从来只不过是物理实验的摹本。如果物理实验先前没有导致我们关于在空间上不可改变的物理物体的知识——度量的概念，那么心理实验恐怕是不可能的。根据这种特点的实验，有助于我们达到这样一个真理：在三角形内可发现的六个度规量（三个边和三个角）中，至少包括一个边在内的三个度规量足以决定三角形。如果在决定三角形的组分中只给予一个边，那么所考虑的角或者必须是给定的边包含的角，或者是与较大的边相对的角——至少若决定不得不是唯一的话。在达到三角形由三边决定和它的形式独立于它的位置的洞察后，可以得出结论说，在等边三角形中所有三个角和在等腰三角形中与等边相对的两个角必定是相等的，不管角和边无论以什么方式相互依赖。这在逻辑上是确定的。但是，由于那个理由，它所依据的经验基础丝毫也不比它在类似的物理学案例中那样多余。
第三十二节
边和角相互依赖的模式首先在特殊的例子中被自然地辨认出来。在计算矩形和由它们的对角线形成的三角形的面积时，必定会注意到这样的事实：具有3和4个长度单位的边的三角形给出具有3，4，5个长度单位的边的直角三角形。因此，成直角性表明与边之间的确定的、合理的比率相关。关于这个趔的知识借助三个分别为3，4和5个长度单位的相关联的绳索立桩标出直角。等式3[2]＋4[2]＝5[2]现在引起注意，已证明它的类似物对于具有长度a，b，c的边的所有直角三角形都是有效的（一般公式是a2＋b2＝c2）。众所周知，这一关系多么深刻地进入度规几何学中，距离的所有间接测量如何可以追溯到它。我们将努力揭开这个关系的基础。
第三十三节
首先必须评论一下，对于所谓的毕达哥拉斯定理，无论希腊的几何学演绎还是印度的算术演绎，都无法避免考虑面积。所有演绎依据的、在整个演绎中以不同形式本能地出现的一个本质之点如下：如果使三角形a，b，c（图17） 在它自己的平面上滑动一个短距离，那么可以设想，它留在后面的空间被它占有的新空间弥补或补偿。这就是说，边中的两个在位移时扫过的面积等于第三边扫过的面积。这个概念的基础是三角形面积守恒的假定。如果我们把面看作是十分微小的、但不改变第三维厚度（为此这在目前的关联中不产生影响）的物体，那么我们将再次具有作为我们根本假定的物体体积的守恒。相同的概念可以应用到四面体的平移，但是它在这个例子中不导致新的观点。体积守恒是刚体和流体通常具有的性质，被旧物理学理想化为不可入性。在刚体的情况下，我们具有所有部分之间的距离保持不变的附加属性，而在流体的情况下，刚体的性质仅就最小的时间和空间元才存在。
第三十四节
如果使具有边a，b，c的斜三角形在边b的方向上位移，那么根据上面叙述的原理，仅仅b和c将描绘出等价的平行四边形，这些平行四边形在相同的平行线上的相等的一对平行边方面是相同的。如果a与b成直角，且把三角形与〔成直角地移动距离c，那么边c将描绘出正方形c2，而另外两个边将描绘出平行四边形，其组合面积等于正方形面积。通过刚才在先的观察，两个平行四边形分别等价于a 2 和b 2 ——以此便达到了毕达哥拉斯定理。相同的结果也可以通过下述程序得到（图18）：
首先使三角形与a成直角地滑动距离a，然后与b成直角地滑动距离b，在这里a 2 ＋b 2 将等于c扫过的面之和，该和显然是c 2 。取一个斜三角形，与刚才完全相同的程序容易且明显地给出比较普遍的命题c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2abcos γ 。
第三十五节
因此，三角形第三边对于另外两边的依赖由被围住的三角形的面积决定；或者，用我们的概念来讲，由包含容量的条件决定。也能直接地看出，上述的等式表达了面积的关系。确实，也可以把两个边之间所夹之角看作是对第三边起决定作用，在这个案例中等式将明显地呈现截然不同的形式。让我们略微仔细地考察一下这些不同的度量。如果两条长度为a和b的直线之端在一点相交，那么把它们的自由瑞连结起来的线〔的长度将包括在一定的限度之间。我们将有c≤a＋b和c≥a－b。仅仅形象化不能告知我们这个事实；我们只能从思想中的实验——基于有形实验并再现它的一种程序——获悉它。例如，这一点将通过抓牢a并转动b，首先直到它形成a的延长部分为止，其次直到它与a重合为止。直线原本是由心理性质刻画特征的唯一具体的图像——我们能够从具有确定特点的物体中得到这一图像，它以具有无限小但却恒定的厚度的绳子或金属线的形式把容量的最小值插入它的端点的位置之间——只能够以一种唯一决定的方式完成它。如果几条直线通过一点，那么我们用它们的方向从心理学的角度在它们之间进行区分。但是，在通过关于物理对象的度规经验得到的抽象空间中，不存在方向的差异。通过一点的直线在抽象空间中只能借助在它之上指定第二个物理点来完全决定。定义在方向上恒定的直线，或者把角定义为方向之间的差异，或者把平行直线定义为具有相同方向的直线，就是在心理学上定义这些概念。
第三十六节
当我们开始在几何学上刻画或决定被形象地给予的角时，各种不同的方法供我们支配。当距离在两个固定点之间被指定，而使每一点在交点之外置于角的分离的边之上时，角就被决定了。为了使定义变得一贯，可以选择位于距顶点相同的和不变的距离的点。于是，相互并排地处于与它们的顶点重合的同一平面的给定角之等倍数，不能用这些点之间的距离的相同等倍数来量度，这种不方便的理由在于，这种决定角的方法未被引入初等几何学。当使角截取的圆周或圆面积的除得尽的部分与它在中心的顶点都处在圆的平面上时，通过选取该部分便得到更简单的度量、更简单的角的特征。在这里所包含的约定是比较方便的。
在利用圆的弧决定角时，我们再次仅仅度量容量，即由具有简单的确定的形式的物体占据的容积，而该物体是在距顶点等距离的角的臂上的两点之间被引入的。但是，单纯的直线距离能够刻画圆的特征。两种量度，即直线的长度量度和角度的量度，原则上是作为基本的量度使用的，其他量度都由它们推导而来，这是一个明白、直接的问题以及由此导致的简易和方便的问题。这决不是必要的。例如（图19），在没有特定的角的量度的情况下，可以用下述途径决定直线与另一条直线成直角地相交：使它的距第一条直线上的两点等距离的所有点处在距交点相等的距离。能够以完全相似的方式决定角的平分线，通过连续的平分能够得到我们希望的无论多么小的角的单位。与另一条直线平行的直线能够作为一个来定义，通过全等的曲线或直线路线能够把另一条直线的所有点转化为第一条直线的点。完全可能仅仅从直线段开始作为我们的基本量度。设给定一个固定的物理点a。另一点m距第一个点的距离是r。于是，这最后的点还能够处在围绕a以半径r。描绘的球面的任何部分。如果我们还知道再一个点b，并把m移动距b的距离为rb，那么三角形abm将是刚性的、被决定了的；但是，m还能够在通过三角形绕轴ab转动所描绘的圆上旋转。如果现在把点m牢牢控制在任何位置上，那么上述三点a，b，m所属的整个刚体也将被固定。
第三十七节
因此，距空间中至少三个固定点a，b，c的距离ra，rb，rc在空间上决定了点m。但是，这一决定还不是唯一的，因为具有棱ra，rb，rc的棱锥——m处在这个棱锥的顶点上——也同样能够在平面a，b，c的一侧构造，就像在该平面的另一侧构造那样。如果我们必须固定该侧，比如说用特殊的记号，那么我们应该诉诸生理的决定，因为在几何学上平面的两侧并非不同。倘若点m被唯一地决定，它距位于平面abc之外的第四点的距离rd必然附带地被给定。另外的点m’以相似的完成方式被四个距离r’a，r’b，r’c，r’d决定。因此，m距m’的距离也由这一决定给出。像各自被四个距离决定一样，同样的结论对于任何数目的其他点都为真，在四点之间，4（4-1）/1.2＝6的距离是可以料到的，要决定点的复合的形式，正好必须给出这个数。对于4＋Z＝n 点，6＋4z或4n－10的距离需要决定，尽管更大的数即n（－1）/1.2的距离存在着，以致距离的超过量也被同时决定。
第三十八节
如果我们从三点开始，并规定要进一步决定的所有点的距离将仅仅对于由三点决定的平面的一侧有效，那么3n－6的距离将足以决定n个点的系统相对于三个初始点的形式、大小和位置。但是，如果不存在关于所选取的平面之侧的条件，即包含感觉的和生理的特征但不包含抽象的度规特征的条件，那么点系统而不是预期的形式和位置，可能呈现对于第一个的点对称或者由二者的点组合。由于我们对称的生理组织，对称的几何图像很容易被认为是相同的，尽管它们从度规和物理的角度来看是迥然不同的。向右旋绕的螺丝和向左旋绕的螺丝、两个在相反方向旋转的物体等等，在我们的眼睛看来似乎是十分相像的。但是，我们为此理由都不容许把它看作是在几何学上或物理学上等价的。注意到这一事实会防止许多悖论问题。仅仅想一想这样的问题给康德带来的麻烦吧！感觉的生理属性由相对于我们的身体、特殊构成的肉体系统决定；而度规属性一般地由物理物体的世界决定。后者只能由重合实验即测量来确定。
第三十九节
正如我们看到的，每一个几何学的测量归根结底都可以还原为容量的测量即物体的计数。长度的测量像面积的测量一样基于每一个细绳、细棒和恒定厚度的叶片的容量的比较。这与下述事实没有不符之处：面积的度量在算术上可从长度的测量推导出来，或者立体的度量可仅仅从长度的度量或从与面积的度量结合的那些度量中推导出来，这只不过证明了，容量的不同度量是相互依赖的。断定这种相互依赖的形式是几何学的基本目标，正如断定各种计数操作或心智的排序活动关联在一起的方式是算术的本分一样。
第四十节
极其可能的是，视觉的经验是几何学发展急剧的原因。但是，我们从目前光学技术的发达状态获得的对光线性质十分熟悉，不应该误导我们认为我们关于光线的经验知识是几何学的主要基础。在充满灰尘或烟雾的空气中的光线提供了极妙的直线形象化。但是，我们不能从光线推导出直线的度规性质，恰如我们不能从想像的直线推导出它们一样，为此目的，与物理对象有关的实验是绝对必要的。实际几何学家的拉长的绳索肯定比经纬仪的使用要古老。但是，一旦已知物理的直线，光线便提供了达到新观点的十分清楚和近便的手段。盲人几乎不会发明近代的综合的几何学。但是，处在几何学基础的最古老的和最有力的经验恰恰是盲人通过他的触觉可以接近的，就像能够看见东西的人可以接近它们一样。不管物体的可动性，二者都了解物体的空间的恒久性；二者都通过把握对象获得了容量的概念。原始几何学的创造者起初本能地、然后故意地和有意识地忽略那些对他人操作来说是非本质的、他暂时下关心的物理性质、以这种方式，通过逐渐的成长，理想化的几何学概念在经验的基础上出现了。
第四十一节
因此，我们的几何学知识来自各种源泉。我们在生理学上从直接的视觉和触觉接触中获得了许许多多和各种各样的空间形式。物理的（度规的）经验（包括在相同的环境下由不同的物体引起的空间感觉的比较）与这些形式联系在一起，这些经验本身也只不过是在感觉之间得到的其他关系的表达。这些形形色色的经验序列如此密切地相互交织，以致只能用彻底的细查和分析分离它们，有关几何学的广泛歧异的观点概源于此。在这里它基于纯粹的形象化（Anschauung），在那里立基于物理的经验，依据高估或忽略一个因素或另一个因素而定。但是，两种因素都进入到几何学的发展中，它们今天还在其中起作用；正如我们看到的，因为几何学决不是全部使用纯粹度规的概念。
第四十二节
如果我们打算询问一个无偏见的、正直的人，他在什么形式下例如参照笛卡儿坐标系描绘空间，他无疑会说：我拥有刚性的（固定的形式）、透明的、可穿透的、邻接的立方体的系统的图像，这些立方体具有仅仅由朦胧的视觉和触觉标志的界面——一种幻影的立方体，遍及并通过这些幻影的构象，实在的物体和它们的幻影的配对物运动着，同时保持它们的空间的恒久性（正如上面定义的），不管我们正在追求实际的或理论的几何学还是运动论（phoronomy）。例如，高斯著名的关于曲线的研究实际上涉及到无限薄的薄片、从而涉及到柔软的物体的相互应用。不能否定各种经验序列在所考虑的基本概念的形成中协同作用。
第四十三节
然而，尽管几何学由以起源的特殊经验是各种各样的，它们仍然可以还原为事实的最低的限度：具有确定的空间恒久性的可动物体存在着，也就是说刚体存在着。但是，可动性是被如下刻画其特征的：我们从一点画三条并非在同一平面，但却在其他方面未被决定的线。根据平行于这些直线的三个运动，任何一点都能够从任何其他点达到。因此，在生理上和度规上作为最简单的东西刻画其特征的三个测量或维度，对于所有的空间决定而言是充分的。这些是基本的事实。
第四十四节
物理的度规的经验像所有形成实验科学基础的经验一样，是概念化的——理想化的。用简单的表达清楚的概念在容易的逻辑的控制下描述事实的需要是这一点的理由。绝对刚性的、在空间上不变的物体，完美的直线和面，像理想气体或理想流体一样不存在。不管怎样，我们更可取和更乐于用这些概念而不是用与对象的性质更密切符合的其他概念工作，而延缓对偏离的考虑。理论几何学甚至不需要考虑偏离，因为它假定绝对满足理论要求的对象，恰如理论物理学所作的那样。但是，在实际几何学的情况下，我们在这里关注实际的对象，我们像在实际物理学中一样被迫考虑与理论假定的偏离。但是，几何学有一个附带的长处，即它的对象与还可以受检测的理论假定的每一个偏离都能被消除；而物理学由于明显的理由不能构造比在自然界中实际存在的更完美的气体。因为在后者的案例中，我们涉及的不只是单独的任意可构造的空间性质，而涉及在自然界中发生的和独立于我们意志的压力、体积和温度之间的关系。
第四十五节
概念的选择受事实的启示；可是，由于看到这种选择是我们自愿在思想中复制事实的结果，因此在这件事情上留下某种自由的余地。概念的重要性由它们应用的范围来估价。这就是为什么直线和面的概念被置于突出的地位，因为每一个几何学对象都能够以充分的近似分成以面和直线为界的要素。我们决定强调的直线、面等等的独特性质是我们自己自由选择的素材，这个真理在就同一概念给出的各种定义中找到了表达。
第四十六节
于是，几何学的基本真理无疑是从物理经验推导出来的，仅仅是由于我们的空间形象化和感觉绝对达不到测量，不能成为度规实验的对象。但是，同样毋庸置疑的是，当有关我们的空间形象化与最简单的度规实验的关系变得熟悉时，于是就能够极为熟练、极为确定地仅仅在想像中摹写几何学事实，即用纯粹的心理经验摹写。正是在我们的空间感觉中的连续变化对应于物理物体中的连续的度规变化，才能使我们仅仅在想像中断定相互依赖的特定的度规要素。现在，如果观察到这样的度规要素以严格相同的方式进入具有不同位置的不同结构，那么将认为度规结果是相等的。上面提到的等腰三角形和等边三角形可以作为范例。几何学的心理实验只是在下述方面优于物理实验：能够以更简单的经验这样地完成立，仿佛它是更容易地、几乎是无意识地获得的。
第四十七节
我们的感觉的空间相像和形象化是定性的，而不是定量的或度规的。我们从它们中推导广延的全等和差别，但从来不是实在的大小。 例如，设想一下图20，一个硬和顺时针向下滚动，围绕着另一个同样大小、没有滚动的固定硬币。即使我们的想像像它愿意的那样活泼，仅仅用摹写的意象（imagery）的纯粹技艺，也不可能在这里决定在转动整个一周时所描绘的角度。但是，如果考虑一下在运动开始时半径a，a’在一条直线上，但是在绕转四分之一周后半径b，b’在直线上，那么将立即可以看到，半径a’现在竖直指向上方，从而完成了半周绕转。从把理想化的经验集中在确定的物理对象上的度规概念可得到绕转的度量，但是绕转的方向却保留在感觉想像中。度规概念仅仅决定，在相同的圆中，相等的弧对着相等的角，与接触点对应的半径处在直线上等等。
第四十八节
如果我想像随其角之一增加的三角形，那么我也将看到与该角相对的边增加。这样产生的上述那种相互依赖的印象，仅仅先验地出自想像的技艺。但是，想像在这里只不过是摹写经验事实，角的度量和边的度量是可应用于同一事实的两个物理概念——这个概念对我们来说变得如此熟悉，以致开始把它们只不过看作是相同的想象的事实群的两种不同的属性，从而好像是联系在一起的十足的必然性。可是，我们在没有物理的情况下从来也不能获得这些概念。比较一下第21节。
第四十九节
在每一个几何演绎中，感觉想像与从经验导出的理想化的概念结合的作用都是明显的。例如，让我们考虑这样一个简单的定理：三角形ABC的边的垂直平分线相交于一个公共点。实验和想像二者无疑都导致该定理。但是，越仔细地作图，人们越变得深信，第三条垂线没有严格地通过头两条垂线的相交之点，因此在任何实际的作图中，将发现三个相交点相互密切接近。因为在实际上既不能画出完美的直线，也不能画出完美的垂线；后者还不能严格地竖立在中点上；诸如此类，不一而足，只有在这样的理想条件的假定上，AB的垂直平分钱才包含距A和B相等距离的所有点，BC的垂直平分钱才包含距B和C相等距离的所有点。由此可得，这两个垂直平分线的交点与A，B和C等距，由于它与A和B等距，它也是第三条垂线即AC的点。因此，该定理断言，越准确地满足假定，相交的三个点将越接近地重合。
第五十节
感觉想像「即Anschauung或正如我们称之为的直觉］和概念的结合作用的意义通过这些例子将无疑变得很清楚。康德说：“没有内容的思想是空洞的，没有概念的直觉是盲目的。”（KdrV A51／B75）也许我们可以更恰当地说：“没有直觉的概念是盲目的，没有概念的直觉是跛瘸的。”因为称直觉［即感觉图像］是盲目的和概念是空洞的似乎并非如此绝对正确。当康德进而说“在每一自然知识的部门中，仅仅存在与在其中包含的数学一样多的科学”（《自然科学的形而上学基础》，导言）时，人们大概也可以就包含数学在内的所有科学断言：“它们仅仅是达到它们用概念操作的程度的科学。”因为我们的逻辑控制只扩展到我们自己已决定其内容的那些概念。
第五十一节
物体是刚性的和可动的这两个事实，对于理解任何几何学事实都会是充分的，不管几何学事实多么复杂都会是充分的，也就是说，从提到的两个事实可以导出它。但是，几何学在它自己的兴趣和它作为辅助科学的作用两方面，或者在对实际目的追求中，都被迫回答以同一方式反复再出现的问题。现在，在这样的偶然事件中，每次都从最基本的事实开始，并推进到显示出来的每一个新案例的根底，也许是不经济的。因此，选择某几个简单的，熟悉的和明确的定理——在我们的这种选择中决不排除任性，并从这些定理中一劳永逸地为实际目的的应用系统形成回答最频繁重现的问题的普遍命题，则是更为可取的。从这种观点来看，我们立即理解了几何学假定的形式——例如，它把重点放在它的关于三角形的命题上。就所预定的意图而言，选择具有最广泛应用范围的，最普遍的可能命题是称心如意的。我们从历史了解，通过把各种知识的特例综合在单一的普遍案例之下，才能得到这种特征的命题。今天，当我们处理两个几何学图形的关系时，或者当形式和位置的不同特例迫使我们修正我们的演绎模式时，我们甚至不得不对这个程序再分类。作为在初等几何学中的这方面的最熟悉的例子，我们可以引用在圆心角和圆周角之间得到的关系的演绎模式。
克罗曼（Kroman）提出这样一个问题：我们为什么认为用特殊图形（特殊的三角形）构成的证明对于所有图形是普遍可靠的？他发现他的答案在于假定，我们能够通过急剧的变化，在思想中把所有可能的形式传递给图形，从而使我们自己相信同一推理模式在所有特例中的可采纳性。历史和内省都宣布，这个观念在所有基本的方面是正确的。但是，我们不可以和克罗曼一起假定，在每一个特例中，每个个别的几何学学生都“以闪电般的迅疾”获得这个完备的概要的观点，并即刻达到所讨论的几何学确信的透彻和强度。频繁需要的操作是绝对不可实行的，误差证明，在其他案例中，它实际上不可实行，依然满足于猜想的探究者立足于类比。除了个人马上达不到或不能达到之外，他可以在他的一生的过程中达到。整整多代人辛苦地确认几何学。对它的确实性的确信无疑被他们的集体努力增强了。我曾经了解，一位在其他方面出色的教师强迫他的学生用不正确的图形完成他们的所有证明，但是在理论上，正是概念的逻辑关联而不是图形，才是本质的东西。但是，嵌入在概念中的经验依附我们的感觉图像。只有实际上形象化的或想像的图形才能够告诉我们，在给定的案例中必须使用什么特定的概念。这位教师的方法令人钦佩地适应于使逻辑操作在达到真理中分担的程度变得容易感觉到。但是，习以为常地使用它就是完全没有领会这样一个真理：概念从感觉的源泉获取它们的基本功能。
如果准确地观察事实，那么还不能坚持用幸运的三段论排列就能够一劳永逸地捕获新洞察的观点：该观点既对单个的初学者或探究者不成立，也对作为一个整体的人或人类不成立，既对几何学不适用，也对其他科学不适用。相反地，科学史表明，正确地还原为它的基础的正确的新洞察迟早在某种程度上可能变混乱，不完备地或以被曲解的形式出现，甚或完全不再为某些探究者所知，只是在以后才以充分的光辉重新显现。洞察的一次发现和表达是不够的。把一般的思维习惯发展到上述的洞察能够变成共同的特性并持久地充满活力的地步，往往需要花费若干年和数世纪。迪昂在他的关于静力学的历史的详尽调研中特别优美地表明了这一点。
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